Phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số là dạng toán thường gặp trong đề cương môn Toán THPT quốc gia. Vậy phép đối xứng tâm là gì? Khi nào thì đồ thị có tâm đối xứng? làm thế nào để tìm tâm đối xứng của đồ thị? cách xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số?… trong nội dung bài viết dưới đây, dinhnghia.vn nó sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này!
tâm đối xứng của đồ thị hàm số là gì?
cho hàm (y = f (x) ) với đồ thị ((c) ). giả sử rằng (i ) là một điểm thỏa mãn tính chất: bất kỳ điểm nào (a ) trên đồ thị ((c) ) nếu nó đối xứng với (i ) thì ta được (a ‘ ) cũng thuộc ((c) ) nên ta nói rằng (i ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm (y = f (x) )
thuộc tính:
- cho hàm (y = f (x) ). thì hàm có tâm đối xứng tại gốc (o (0,0) leftrightarrow f (x) ). hàm lẻ: (f (-x) = -f (x) )
- giả sử rằng hàm (y = f (x) ) nhận điểm (i (x_0; y_0) ) làm tâm đối xứng, thì ta có thuộc tính:
- (f (x + x_0) + f (-x + x_0) = 2y_0 ) cho tất cả (x in mathbb {r} )
*** chú ý:
- phép đối xứng tâm có thể nằm ngoài hoặc trên đồ thị của hàm số. nếu hàm (f (x) ) liên tục tại ( mathbb {r} ) thì tâm đối xứng của nó (nếu có) là một điểm trên đồ thị của hàm đó.
- không tất cả các hàm đều có tâm đối xứng, chỉ một số hàm có tâm đối xứng.
điểm uốn của đồ thị hàm số là gì?
định nghĩa điểm uốn của đồ thị hàm số
cho hàm (y = f (x) ). thì điểm (u (x_0; y_0) ) được gọi là điểm uốn của hàm đồ thị nếu có một khoảng ((a; b) ) chứa điểm (x_0 ) sao cho thuộc một trong các hai khoảng ((a; x_0) ) và ((x_0; b) ) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (u ) nằm trên đồ thị và trong khoảng còn lại tiếp tuyến nằm dưới. biểu đồ.
định lý điểm uốn của đồ thị hàm số
nếu hàm (y = f (x) ) có đạo hàm bậc (2 ) trên khoảng chứa các điểm (x_0 ) thoả mãn:
(f ” (x_0) = 0 ) và (f ” (x) ) đổi dấu khi đi qua điểm (x_0 ) rồi đến điểm ((x_0; f (x_0)) ) là điểm uốn của đồ thị hàm (f (x) )
vì vậy để xác định điểm uốn của đồ thị hàm (f (x) ), chúng ta chỉ cần giải phương trình: (f ” (x) = 0 ). nghiệm của phương trình đó là tọa độ của điểm uốn của hàm
*** lưu ý : tọa độ tâm đối xứng của hàm số bậc 3 chính là điểm uốn của đồ thị của hàm số bậc 3 đó. nên hàm số bậc 3 luôn có tâm đối xứng.
cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x)
Công thức dịch hệ tọa độ và chuyển đổi hệ tọa độ
Trong các bài toán về tâm đối xứng, ta cần tịnh tiến trục tọa độ về tâm đối xứng. do đó, chúng ta phải nắm vững các công thức chuyển đổi trục hệ tọa độ:
giả sử (x; f (x_0) ) là một điểm trên mặt phẳng tọa độ (Oxy ). phép tịnh tiến theo vectơ ( overrightarrow {oi} ) chuyển đổi hệ tọa độ (oxy ) thành hệ tọa độ (ixy )
giả sử rằng (m ) là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng.
- ((x; y) ) là toạ độ của (m ) đối với hệ toạ độ (Oxy )
- ((x; y) ) là tọa độ của (m ) đối với hệ tọa độ (ixy )
chúng tôi có công thức để chuyển đổi hệ tọa độ:
( left { begin {array} x = x-x_0 \ y = y-y_0 end {array} right. )
bài tập về phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số
xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Để xác định tâm đối xứng của hàm (y = f (x) ) ta thực hiện các bước sau:
- bước 1: giả sử rằng (i (a; b) ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm (f (x) ). dịch trục tọa độ (oxy rightarrow ixy ):
- ( left { begin {matrix} x = x + a \ y = y + b end {matrix} right. )
- chúng ta thu được một hàm có dạng: (y + b = f (x + a) leftrightarrow y = g (x) )
- (g (-x) = -g (x) )
thì ta có thể chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số nhận điểm (i (a; b) ) là tâm đối xứng
ví dụ:
xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số: (y = frac {2x} {x + 1} )
giải pháp:
giả sử hàm nhận điểm (i (a; b) ) làm tâm đối xứng. sau đó chúng tôi dịch trục tọa độ theo vectơ ( overrightarrow {oi} ) chúng tôi có:
( left { begin {array} x = x + a \ y = y + b end {array} right. )
thì hàm đã cho tương đương với:
(y + b = frac {2 (x + a)} {x + a + 1} )
( leftrightarrow y = 2-b- frac {2} {x + a + 1} )
để hàm trên là số lẻ, thì:
( left { begin {matrix} 2-b = 0 \ a + 1 = 0 end {matrix} right leftrightarrow left { begin {matrix} a = -1 b = 2 end {array} right. )
thì (i (-1; 2) ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
tóm tắt:
- hàm (y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ) với (a neq 0 ) có tâm đối xứng là ((- frac {b} {3a} ; y (- frac {b} {3a})) ). đây là điểm uốn của một hàm bậc ba
- hàm (y = frac {ax + b} {cx + d} ) với (c neq 0; ad neq bc ) có tâm đối xứng là điểm ((- frac {d} {c}; frac {a} {c}) )
- hàm (y = frac {ax ^ 2 + bx + c} {dx + e} ) với (a, d neq 0 ) có tâm đối xứng là ((- frac {e} {d}; y (- frac {e}) { d})) )
tìm điều kiện tham số để đồ thị của hàm số nhận điểm cho trước làm tâm đối xứng
sự cố: cho hàm (y = f (x) ) không có tham số (m ). xác định giá trị của (m ) để hàm số đã cho nhận điểm đã cho (i (a; b) ) làm tâm đối xứng
Để giải quyết vấn đề trước đó, chúng tôi thực hiện các bước sau:
- bước 1: dịch trục (oxy rightarrow ixy ):
- ( left { begin {matrix} x = x + a \ y = y + b end {array} right. )
- chúng ta thu được một hàm có dạng: (y + b = f (x + a) leftrightarrow y = g (x) )
- (g (-x) = -g (x) )
ví dụ:
tìm giá trị của (m ) để hàm số (y = x ^ 3-3x ^ 2 + 3mx + 3m + 2 ) có tâm đối xứng tại (i (1; 2) )
giải pháp:
vì đây là một hàm bậc (3 ), tâm đối xứng của hàm đồ thị là điểm uốn của hàm
chúng ta có: (y ‘= 3x ^ 2-6x + 3m rightarrow y’ ‘= 6x-6 )
(y ”= 0 leftrightarrow x = 1 )
vì vậy thay vào đó chúng ta lấy tọa độ tâm đối xứng của hàm đồ thị là điểm ((1; 6m) )
thì sao cho (i (1; 2) ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
(6m = 2 leftrightarrow m = frac {1} {3} )
Tìm hai điểm trên đồ thị của một hàm số đối xứng nhau qua một điểm cho trước
sự cố: cho hàm (y = f (x) ). tìm hai điểm (a; b ) trên đồ thị của hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm đã cho (i (a; b) ).
Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng thuộc tính:
nếu hai điểm (a (x_a; y_a); b (x_b; y_b) ) đối xứng nhau về (i (x_0; y_0) ) thì
( left { begin {array} x_a + x_b = 2x_0 \ y_a + y_b = 2y_0 end {array} right. )
ví dụ:
cho hàm (y = frac {x} {x-3} ). Tìm trên đồ thị của hàm số hai điểm (a, b ) sao cho chúng đối xứng với điểm (i (0; -1) )
giải pháp:
giả sử hai điểm (a, b ) cần tìm có tọa độ: (a (a; frac {a} {a-3}); b (b; frac {b} {b) – 3}) )
để hai điểm đối xứng nhau qua (i (0; -1) ) thì:
( left { begin {matrix} a + b = 0 \ frac {a} {a-3} + frac {b} {b-3} = -1 end {matrix} đúng. )
thay phương trình ((1) ) vào phương trình ((2) ) ta được:
( frac {a} {a-3} + frac {a} {a + 3} = – 1 leftrightarrow frac {2a ^ 2} {a ^ 2-9} = 1 )
( leftrightarrow 2a ^ 2 = 9-a ^ 2 leftrightarrow a ^ 2 = 3 leftrightarrow a = pm sqrt {3} )
vì vậy chúng tôi có hai điểm cần tìm: ( sqrt {3}; frac {1} {1- sqrt {3}}) và (- sqrt {3}; – frac {1} { 1 + căn bậc hai {3}})
tìm một hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị của một hàm số đã biết đối với một điểm cho trước
bài toán: cho hàm (y = f (x) ) và điểm (i (a; b) ). tìm hàm (y = g (x) ) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị hàm (f (x) ) qua điểm (i )
Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi thực hiện các bước sau:
- bước 1: gọi (m (x; y) ) là một điểm bất kỳ trong hàm (g (x) ) cần tìm. thì luôn có một điểm (m ‘(x_0; y_0) ) trên đồ thị của hàm (f (x) )
- bước 2: thiết lập một hệ thống các mối quan hệ (m ) và (m ‘)
( left { begin {array} x_0 = 2a-x \ y_0 = 2b-y end {array} right. )
- bước 3: thay vì biểu thức: (y_0 = f (x_0) ), chúng ta nhận được hàm chúng ta cần
ví dụ:
cho đường cong ((c): frac {x ^ 2 + x-3} {x + 2} ) và điểm (i (-1; 1) ). cân bằng đường cong ((c ‘) ) đối xứng với đường cong ((c) ) đi qua điểm (i )
giải pháp:
gọi (m (x; y) ) bất kỳ điểm nào trên đường cong ((c ‘) ) để tìm. thì luôn có một điểm (m ‘(x_0; y_0) ) trên đường cong ((c): frac {x ^ 2 + x-3} {x + 2} )
vì (m, m ‘) đối xứng qua (i (-1; 1) ) nên chúng ta có:
( left { begin {array} x_0 = -2-x \ y_0 = 2-y end {array} right. )
make (m ‘ in (c) ) rồi:
(y_0 = f (x_0) ). thay vào đó chúng tôi nhận được:
(2-y = f (-2-x) leftrightarrow y = 2- frac {(x + 2) ^ 2- (x + 2) -3} {- 2} )
( leftrightarrow y = frac {(x + 2) ^ 2-x-1} {2} = frac {x ^ 2 + 3x + 3} {2} )
thì phương trình của đường cong ((c ‘) ) là: (y = frac {x ^ 2 + 3x + 3} {2} )
dạng toán về phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số
Bài viết trước trên dinhnghia.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và một số dạng bài tập về chủ đề Phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số. Mong rằng những kiến thức của bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề Phép đối xứng tâm của đồ thị. chúc bạn may mắn với việc học!
xem thêm & gt; & gt; & gt; các dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến – toán 12
xem thêm & gt; & gt; & gt; đồ thị của hàm số bậc hai, bậc hai, bậc hai
xem thêm & gt; & gt; & gt; chuyên đề hàm số cực trị bậc 3 và công thức tính cực nhanh
xem thêm & gt; & gt; & gt; điểm cuối của hàm là gì? cực trị của hàm số bậc 3, bậc 4 và cực trị của hàm số lượng giác
khoa học có liên quan:
- khi nào thì đồ thị có tâm đối xứng
- tọa độ tâm đối xứng của hàm số bậc 3
- tìm m để đồ thị c có điểm i 2 1 làm tâm đối xứng của nó
- đồ thị hàm số nào dưới đây có tâm đối xứng tại điểm i (1; -2)
- cách tìm trục đối xứng của đồ thị của hàm số bậc nhất theo bậc nhất
- cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc nhất
