Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch | Học toán online chất lượng cao 2022 | Vted
Bạn đang quan tâm đến Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch | Học toán online chất lượng cao 2022 | Vted phải không? Nào hãy cùng VCCIDATA đón xem bài viết này ngay sau đây nhé, vì nó vô cùng thú vị và hay đấy!
XEM VIDEO Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch | Học toán online chất lượng cao 2022 | Vted tại đây.
& gt; & gt; xem thêm phương pháp xác định các yếu tố quyết định của ma trận
& gt; & gt; độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
& gt; & gt; định thức ma trận và thuộc tính định thức
& gt; & gt; kiểm tra ma trận suy biến và ma trận khả nghịch
& gt; & gt; không gian vectơ cơ sở
ví dụ 1: đối với $ a, b $ là ma trận vuông khả nghịch của thứ tự $ n $. cho thấy rằng nếu $ a + b $ là khả nghịch thì $ {{a} ^ {- 1}} + {{b} ^ {- 1}} $ cũng có thể nghịch đảo.
Bạn đang xem: Ma trận không suy biến là gì
giải thưởng. có $ a ({{a} ^ {- 1}} + {{b} ^ {- 1}}) b = a {{a} ^ {- 1}} b + a {{b} -1}} b = eb + ae = b + a. $
vì vậy $ det (b + a) = det left (a ({{a} ^ {- 1}} + {{b} ^ {- 1}}) b right) = det ( a) det ({{a} ^ {- 1}} + {{b} ^ {- 1}}) det (b). $
tạo $ det (a) ne 0; det (b) ne 0; det (a + b) ne 0 rightarrow det ({{a} ^ {- 1}} + { {b} ^ {- 1}}) ne 0. $ chúng ta có điều gì đó để chứng minh.
ví dụ 2: chứng minh rằng ma trận vuông $ a $ có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ {{a} _ {k}} {{a} ^ {k}} + {{a } _ {k-1}} {{a} ^ {k-1}} + … + {{a} _ {1}} a + {{a} _ {0}} e = 0 ({{a } _ {0}} ne 0) $ thì ma trận $ a $ khả nghịch và tìm nghịch đảo của nó.
giải thưởng. có $ {{a} _ {k}} {{a} ^ {k}} + {{a} _ {k-1}} {{a} ^ {k-1}} + .. . + {{a} _ {1}} a = – {{a} _ {0}} e leftrightarrow a left (- frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {0}}} {{a} ^ {k-1}} – frac {{{a} _ {k-1}}} {{{a} _ {0}}} {{a} ^ {k -2}} -…- frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {0}}} e right) = e. $
điều đó chứng minh rằng ma trận $ a $ khả nghịch và $ {{a} ^ {- 1}} = – frac {{{a} _ {k}}} {{{a} _ {0}} } {{a} ^ {k-1}} – frac {{{a} _ {k-1}}} {{{a} _ {0}}} {{a} ^ {k-2}} – …- frac {{{a} _ {1}}} {{{a} _ {0}}} e. $
ví dụ 3: đối với $ a, b $ chúng là các ma trận thực bình phương có thứ tự $ n $ khác nhau và chúng đáp ứng điều kiện $ {{a} ^ {3}} = {{b} ^ {3}} $ và $ {{a} ^ {2}} b = b {{a} ^ {2}}. $ Chứng minh rằng ma trận $ {{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}} $ thoái hóa.
giải thưởng. có $ ({{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}}) (a + b) = {{a} ^ {3}} + {{a} ^ {2 }} b + {{b} ^ {2}} a + {{b} ^ {3}} = 2 {{a} ^ {3}} + 2 {{b} ^ {2}} a = 2 ({{ a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}}) a. $
giả sử $ det ({{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}}) ne 0 $ thì $ a + b = 2a leftrightarrow a = b $ (mâu thuẫn với các giả định) .
sau đó $ det ({{a} ^ {2}} + {{b} ^ {2}}) = 0. $
ví dụ 4: cho $ a $ là một ma trận vuông. điều kiện để $ a $ là ma trận đối xứng là $ {a} ‘= a; $ điều kiện để $ a $ là ma trận phản đối xứng là $ {a}’ = – a. $ chứng minh rằng:
- tất cả các ma trận đối xứng xiên có bậc lẻ đều suy biến.
- tất cả các ma trận vuông bậc lẻ $ a $ $ a- {a} ‘$ đều suy biến.
- tất cả các ma trận vuông đều có thể được giải thành tổng của ma trận đối xứng và ma trận đối xứng xiên có cùng bậc.
- nếu $ a $ là đối xứng xiên của bậc lẻ thì $ e-a $ là khả nghịch.
- tất cả các giá trị riêng của ma trận thực đối xứng đều là số thực; mọi giá trị riêng của ma trận thực không đối xứng đều bằng 0 hoặc là ảo thuần túy.
& gt; & gt; xem thêm các bài giảng về định thức và tính chất của chúng
ví dụ 5: cho ma trận vuông $ a $ có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ 2 {{a} ^ {3}} – a = e. $ chứng minh rằng ma trận $ e + 2a $ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của nó.
giải thưởng. có $ (e + 2a) (a {{a} ^ {2}} + ba + ce) = 2a {{a} ^ {3}} + (a + 2b) {{a} ^ { 2}} + (b + 2c) a + ce. $
chúng ta sẽ chọn $ a, b, c $ sao cho $ 2a {a ^ 3} + (a + 2b) {a ^ 2} + (b + 2c) a = 2 {a ^ 3} – a leftrightarrow left { begin {array} {l} 2a = 2 \ a + 2b = 0 \ b + 2c = – 1 end {array} right. leftrightarrow left { begin {array} {l} a = 1 \ b = – frac {1} {2} \ c = – frac {1} {4} end {array} right .. $
sau đó $ (e + 2a) left ({{a} ^ {2}} – frac {1} {2} a- frac {1} {4} e right) = 2 {{a } ^ {3}} – a- frac {1} {4} e = e- frac {1} {4} e = frac {3} {4} e leftrightarrow (e + 2a) left ( frac {4} {3} {{a} ^ {2}} – frac {2} {3} a- frac {1} {3} e right) = e. $
điều đó chứng tỏ rằng ma trận $ e + 2a $ là khả nghịch và có ma trận nghịch đảo $ {{a} ^ {- 1}} = frac {4} {3} {{a} ^ {2}} – fraction {2} {3} a- frac {1} {3} e. $
ví dụ 6: với $ a, b $ có hai ma trận vuông có thứ tự $ n ge 2 $ thỏa mãn $ ab + a + b = o. $ chứng minh rằng nếu $ a $ có thể hoàn nguyên, vì vậy $ b $ có thể đảo ngược.
giải thưởng. có một biến thể của giả định rằng có $ {{a} ^ {- 1}} $ như sau:
$ begin {array} {l} ab + a + b = or rightarrow {a ^ {- 1}} left ({ab + a + b} right) = hoặc leftrightarrow {a ^ { – 1}} ab + {a ^ {- 1}} a + {a ^ {- 1}} b = o \ leftrightarrow b + e + {a ^ {- 1}} b = o leftrightarrow b ( e + {a ^ {- 1}}) = – e rightarrow det (b) det (e + {a ^ {- 1}}) = det (- e). end {array} $
vì vậy $ det (b) ne 0; det (e + {{a} ^ {- 1}}) ne 0. $ chúng tôi có điều gì đó để chứng minh.
Xem ngay: Tại sao hay chảy máu cam
ví dụ 7: đối với $ a, b $ là hai ma trận vuông có cùng thứ tự sao cho $ ab + 2019a + 2020b = o. $ chứng minh rằng ma trận $ a + 2020e $ và $ b + 2019e $ có thể hoàn nguyên.
giải thưởng. có $ ab + 2019a + 2020b = o leftrightarrow (a + 2020e) (b + 2019e) = 2019.2020e. $
vì vậy $ det (a + 2020e). det (b + 2019e) = det (2019.2020e). $
infers $ det (a + 2020e) ne 0; det (b + 2019e) ne 0. $ chúng tôi có điều gì đó để chứng minh.
ví dụ 8: đối với $ a, b $ là hai ma trận vuông có cùng hạng, có thứ tự là số lẻ sao cho $ ab = o. $ chứng minh rằng ít nhất một trong số chúng trùng với $ a + {a} ‘$ và $ b + {b}’ $ suy biến.
ví dụ 9: cho $ a = {{({{a} _ {ij}})} _ {n times n}} $ với $ {{a} _ {ij} } = – 1, forall i = j; {{a} _ {ij}} in left {0.2019 right }, forall i ne j. $ Chứng minh rằng ma trận $ a $ khả nghịch.
giải thưởng. theo định nghĩa của định thức nó có: $ det (a) – {{(- 1)} ^ {n}} $ chia hết cho $ 2019 $ do đó $ det (a) ne 0. $
ví dụ 10: đối với $ a, b $ là hai ma trận vuông có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ {{a} ^ {2019}} = o $ và $ b (a-e) = a + 3e. $ cho thấy rằng ma trận $ b $ là khả nghịch.
giải thưởng. có $ b (a-e) = a + 3e rightarrow det (b) det (a-e) = det (a + 3e). $
chúng tôi cần kiểm tra $ det (a-e) ne 0; det (a + 3e) ne 0. $
với giả định rằng nó tồn tại:
$ -e = – {{e} ^ {2019}} = {{a} ^ {2019}} – {{e} ^ {2019}} = (a-e) ({{a} ^ {2018} } + e {{a} ^ {2017}} + … + {{e} ^ {2017}} a + {{e} ^ {2018}}). $
nhận định thức của cả hai vế với $ det (a-e) ne 0. $
tương tự có $ {{(3e)} ^ {2019}} = {{a} ^ {2019}} + {{(3e)} ^ {2019}} = (a + 3e) ({{a )} ^ {2018}} – 3e {{y} ^ {2017}} + … + {{(3e)} ^ {2018}}). $
nhận định thức của cả hai vế với $ det (a + 3e) ne 0. $
ví dụ 11: đối với $ a, b $ là hai ma trận vuông có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ {{a} ^ {2019}} = o $ và $ a + 2019e = ab . $ chứng minh rằng ma trận $ b $ suy biến.
giải thưởng. có $ {{a} ^ {2019}} = o rightarrow {{ left ( det (a) right)} ^ {2019}} = 0 leftrightarrow det (a) = 0. $
biến đổi $ 2019b = ab-a = a (b-e) rightarrow {{2019} ^ {n}} det (b) = det (a) det (b-e) = 0 leftrightarrow det (b ) = 0. $
ví dụ 12: cho $ a $ là ma trận vuông có thứ tự $ n. $ chỉ ra rằng nếu tồn tại một số tự nhiên $ m $ sao cho $ {{a} ^ {m} } = o $ thì các ma trận $ e-a $ và $ e + a $ là khả nghịch.
giải thưởng. có $ e = {{e} ^ {m}} = {{e} ^ {m}} + {{a} ^ {m}} = (e + a) ({{e} ^ { m-1}} – {{e} ^ {m-2}} a + … + {{a} ^ {m-1}}). $
nhận định thức của cả hai vế với $ det (e + a) ne 0. $
vì $ {{a} ^ {m}} = 0 rightarrow {{a} ^ {2m + 1}} = 0 rightarrow e = {{e} ^ {2m + 1}} = {{e } ^ {2m + 1}} – {{a} ^ {2m + 1}} = (e-a) ({{e} ^ {2m}} + {{e} ^ {2m-1}} a + … + {{a} ^ {2m}}). $
Xem thêm: Tại Sao Mang Cá Chỉ Thích Hợp Với Hô Hấp Ở Dưới Nước Mà Không Thích Hợp Cho Hô Hấp Trên Cạn
nhận định thức của cả hai vế với $ det (e-a) ne 0. $
ví dụ 13: cho $ a, b $ là hai ma trận vuông có thứ tự $ n $ sao cho $ ab = ba $ và có các số nguyên dương $ m, p $ sao cho $ {{ a} m}} = o, {{b} ^ {p}} = o. $ chứng minh rằng các ma trận $ e-a-b $ và $ e + a + b $ là khả nghịch.
giải thưởng. có $ ab = ba $ thì $ {{(a + b)} ^ {m + p}} = sum limit_ {k = 1} ^ {m + p} {c_ {m + p} k} {{a} ^ {m + p-k}} {{b} ^ {k}}} = o. $
sau đó, theo ví dụ 12, có điều gì đó để chứng minh.
ví dụ 14: đối với $ a, b $ là hai ma trận vuông thực cấp 2019 đáp ứng:
$ det (a) = det (a + b) = det (a + 2b) = … = det (a + 2019b) = 0. $
chứng minh rằng với mỗi $ x, y in mathbb {r} $, chúng ta có $ det (xa + yb) = 0. $
ví dụ 15: cho ma trận vuông $ a $ có thứ tự $ n. $ chứng minh rằng nếu tồn tại một số nguyên dương $ m $ thì $ {{(a + e)} ^ {m }} = o $ thì ma trận $ a $ khả nghịch.
ví dụ 16: cho ma trận vuông $ a $ có thứ tự $ n $ thỏa mãn $ {{a} ^ {2019}} = 2019a. $ chứng minh rằng ma trận $ a-e $ là khả thi làm cho nó trở nên tồi tệ.
giải thưởng. thay đổi giả thuyết:
$ begin {array} {l} {a ^ {2019}} – 2019a = hoặc leftrightarrow ({a ^ {2019}} – {e ^ {2019}}) – 2019 (a – e) = 2018e \ leftrightarrow (a – e) left ({{a ^ {2018}} + {a ^ {2017}} + … + a + e – 2019e} right) = 2018e \ leftrightarrow ( a – e) left ({{a ^ {2018}} + {a ^ {2017}} + … + a – 2018e} right) = 2018e. end {array} $
nhận định thức của cả hai vế với $ det (a-e) ne 0. $
hiện tại, vted.vn tạo ra 2 khóa học toán nâng cao 1 và toán nâng cao 2 dành cho tân sinh viên đại học , sinh viên đại học kinh tế của tất cả các trường. :
- key: pro s1 – toán nâng cao 1 – đại số tuyến tính
- key: pro s2 – toán nâng cao 2 – kiểm tra lời giải
khóa học cung cấp kiến thức và phương pháp giải toán toàn diện đi kèm với mỗi bài học. Hệ thống bài tập luyện theo dạng tự luận có lời giải chi tiết trên website sẽ giúp các em học nhanh và vận dụng chắc kiến thức đã học. Mục tiêu của khóa học là giúp học sinh đạt điểm cao trong bài kiểm tra định kỳ cuối năm môn Toán nâng cao 1 và Toán nâng cao 2 vào các trường khối kinh tế.
Sinh viên từ các trường đại học sau có thể học kết hợp này:
– Đại học Kinh tế Quốc dân
– bộ phận ngoại thương
– khoa thương mại
– học viện tài chính
– học viện ngân hàng
– Trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội
và các trường đại học khác, các ngành nghề kinh tế từ các trường đại học khác trong cả nước …
Xem thêm: Tại sao gọi là giày lười
Vậy là đến đây bài viết về Chứng minh một ma trận suy biến và ma trận khả nghịch | Học toán online chất lượng cao 2022 | Vted đã dừng lại rồi. Hy vọng bạn luôn theo dõi và đọc những bài viết hay của chúng tôi trên website VCCIDATA.COM.VN
Chúc các bạn luôn gặt hái nhiều thành công trong cuộc sống!
